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버튜버 연떠 님의 현대 대수학 강의
버츄얼 유튜버 레드오션의 시대에 접어들며 다양한 컨텐츠를 시도하시는 분들이 많아지는 것 같다. 교육자가 버츄얼을 쓰면 뭔가 강의를 잘 들을 수 있을 것 같은데? 라는 생각을 했었는데 이렇게
실제로 실현되니 아주 보기에 좋다. 평소에 군/환/체 개념이 궁금했었는데 시간이 될 때마다 하나씩 강의를 보면서 가볍게 정리해야겠다.
거듭제곱근으로 풀 수 있는 방정식 n차방정식을 거듭제곱근으로 풀 수 있다 -> 방정식의 모든 근이 다항식의 계수를 이용한 사칙연산과 거듭제곱근을 통해 표현된다.
1차 방성식 : ax + b = 0 -> x = -(b/a)
2차 방정식 : 근의 공식을 통해 해를 구할 수 있다.
3차 방정식 : 취른하우스 치환으로 2차항을 제거하여 풀 수 있다.
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , a ≠ 0 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,\quad a \ne 0 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , a = 0 위와 같은 일반적인 3차 다항식에서 3차항의 계수로 다항식을 나누어 정리하면
x 3 + p x 2 + q x + r = 0 x^3 + px^2 + qx + r = 0 x 3 + p x 2 + q x + r = 0 p = b a , q = c a , r = d a p = \frac{b}{a},\quad q = \frac{c}{a},\quad r = \frac{d}{a} p = a b , q = a c , r = a d 여기서 아래와 같은 형태의 1차 치환을 사용한다.(이항정리를 활용한 설정)
x = y − p 3 x = y - \frac{p}{3} x = y − 3 p 치환을 넣어 식을 정리하면 아래와 같이 2차항이 제거된 형태의 다항식을 얻을 수 있다.
y 3 + A y + B = 0 y^3 + Ay + B = 0 y 3 + A y + B = 0 A = q − p 2 3 , B = r − p q 3 + 2 p 3 27 A = q - \frac{p^2}{3},\qquad
B = r - \frac{pq}{3} + \frac{2p^3}{27} A = q − 3 p 2 , B = r − 3 pq + 27 2 p 3 이로부터 임의의 3차 다항식을 항상 2차항이 소거된 형태로 변환할 수 있음을 알 수 있다. 이제 이 형태의 식을 풀어서 3차 다항식의 근을 구할 수 있다.
y = u + v y = u + v y = u + v 위와 같은 형태의 치환을 사용하여 2차항이 없는 다항식을 전개하면
( u + v ) 3 + A ( u + v ) + B = 0 (u+v)^3 + A(u+v) + B = 0 ( u + v ) 3 + A ( u + v ) + B = 0 u 3 + v 3 + B + ( 3 u v + A ) ( u + v ) = 0 u^3 + v^3 + B + (3uv + A)(u+v) = 0 u 3 + v 3 + B + ( 3 uv + A ) ( u + v ) = 0 이 되고, 아래와 같이 조건을 설정한다.
{ u 3 + v 3 + B = 0 , 3 u v + A = 0 \begin{cases}
u^3 + v^3 + B = 0, \\
3uv + A = 0
\end{cases} { u 3 + v 3 + B = 0 , 3 uv + A = 0 두 번쨰 식으로부터
u v = − A 3 uv = -\frac{A}{3} uv = − 3 A 첫 번째 식으로부터
u 3 + v 3 = − B , u 3 v 3 = ( u v ) 3 = ( − A 3 ) 3 = − A 3 27 u^3 + v^3 = -B,\qquad
u^3 v^3 = (uv)^3 = \left(-\frac{A}{3}\right)^3 = -\frac{A^3}{27} u 3 + v 3 = − B , u 3 v 3 = ( uv ) 3 = ( − 3 A ) 3 = − 27 A 3 를 얻고, u^3과 v^3을 s, t로 치환한다.
{ s + t = − B , s t = − A 3 27 \begin{cases}
s + t = -B, \\
st = -\dfrac{A^3}{27}
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ s + t = − B , s t = − 27 A 3 로 부터 s, t는
z 2 + B z − A 3 27 = 0 z^2 + Bz - \frac{A^3}{27} = 0 z 2 + B z − 27 A 3 = 0 의 두 근이다. 이제 2차 방정식의 형태이므로 근의 공식으로 풀면,
z = − B 2 ± ( B 2 ) 2 + ( A 3 ) 3 z = -\frac{B}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{B}{2}\right)^2 + \left(\frac{A}{3}\right)^3} z = − 2 B ± ( 2 B ) 2 + ( 3 A ) 3 이고,
u 3 = − B 2 + Δ , v 3 = − B 2 − Δ u^3 = -\frac{B}{2} + \sqrt{\Delta},\qquad
v^3 = -\frac{B}{2} - \sqrt{\Delta} u 3 = − 2 B + Δ , v 3 = − 2 B − Δ 꼴로 근을 나타낼 수 있다. 세제곱근을 아래와 같이 나타내고,
u = − B 2 + Δ 3 , v = − B 2 − Δ 3 u = \sqrt[3]{-\frac{B}{2} + \sqrt{\Delta}},\qquad
v = \sqrt[3]{-\frac{B}{2} - \sqrt{\Delta}} u = 3 − 2 B + Δ , v = 3 − 2 B − Δ 치환을 사용했던 부분을 다시 돌리면,
y = u + v y = u + v y = u + v x = y − p 3 = u + v − p 3 x = y - \frac{p}{3} = u + v - \frac{p}{3} x = y − 3 p = u + v − 3 p 에서부터
x = − B 2 + Δ 3 + − B 2 − Δ 3 − p 3 x = \sqrt[3]{-\frac{B}{2} + \sqrt{\Delta}}
+ \sqrt[3]{-\frac{B}{2} - \sqrt{\Delta}}
- \frac{p}{3} x = 3 − 2 B + Δ + 3 − 2 B − Δ − 3 p p = b a , A = q − p 2 3 , B = r − p q 3 + 2 p 3 27 , Δ = ( B 2 ) 2 + ( A 3 ) 3 p = \frac{b}{a},\quad
A = q - \frac{p^2}{3},\quad
B = r - \frac{pq}{3} + \frac{2p^3}{27},\quad
\Delta = \left(\frac{B}{2}\right)^2 + \left(\frac{A}{3}\right)^3 p = a b , A = q − 3 p 2 , B = r − 3 pq + 27 2 p 3 , Δ = ( 2 B ) 2 + ( 3 A ) 3 와 같은 형태의 근을 구할 수 있다. 즉 3차 방정식은 2차 방정식의 해를 구하는 문제 + 세제곱근 문제의 형태로 변환된다.
4차 방정식의 경우 유사하게 치환을 통해 3차항을 제거할 수 있다. 다만 추가로 완전제곱꼴로 변형하여 푸는 방식을 적용한다. 최종적으로 4차 방정식은 3차방정식의 해를 구하는 문제 + 네제곱근 문제로 변환된다.
그러면 5차 방정식은 치환을 통해 4차 방정식을 푸는 문제 + 다섯제곱근 문제로 풀 수 있을까? 더 나아가서 n차 방정식은 n-1차 방정식 + n제곱근 문제로 풀 수 있을까?
결론적으로 5차 방정식 이상은 그러한 해법을 취할 수 없다! (아벨-루피니 정리)