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버튜버 연떠 님의 현대 대수학 강의
복소수와 복소평면
흔히 아는 것과 같이 복소수 z는 실수부 x와 허수부 y로 이루어져 있으며 다음과 같이 쓴다.
z = x + i y , x , y ∈ R , i 2 = − 1 z = x + iy, \quad x, y \in \mathbb{R}, \; i^2 = -1 z = x + i y , x , y ∈ R , i 2 = − 1 복소평면은 복소수를 x축을 실수부 x, y축을 허수부 y로 하여 좌표평면의 형식으로 나타낸 것으로
복소수 z = x + iy는 점 (x, y) 또는 원점에서 (x, y)까지의 벡터로 표현된다.
복소수의 크기(절댓값) 와 편각은 다음과 같이 정의할 수 있다.
∣ z ∣ = x 2 + y 2 , arg z = θ |z| = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \arg z = \theta ∣ z ∣ = x 2 + y 2 , arg z = θ 복소수의 대수적 표현/극형 표현
복소수 (z = x + iy)는 직교좌표(대수형)와 극좌표(극형)로 해석할 수 있다 각각의 경우 다음과 같이 표현된다.
직교형(Cartesian form)
z = x + i y z = x + iy z = x + i y
극형(Trigonometric form)
복소수의 크기를 r, 편각을 θ라 하면
x = r cos θ , y = r sin θ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta x = r cos θ , y = r sin θ 이므로
z = x + i y = r ( cos θ + i sin θ ) z = x + iy = r(\cos\theta + i\sin\theta) z = x + i y = r ( cos θ + i sin θ ) 로 쓸 수 있다.
단위복소수
크기가 1인 복소수(절댓값이 1인 복소수)를 단위복소수(unit complex number) 라 하며, 극좌표에 관점에서 보면
∣ z ∣ = 1 ⟺ z = cos θ + i sin θ |z| = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad z = \cos\theta + i\sin\theta ∣ z ∣ = 1 ⟺ z = cos θ + i sin θ 와 같이 단위 원 위의 점으로 볼 수 있다.
즉, 모든 단위복소수는 어떤 실수 (theta)에 대해
z = cos θ + i sin θ z = \cos\theta + i\sin\theta z = cos θ + i sin θ 로 쓸 수 있고, 이때 (theta)를 그 복소수의 편각(또는 각도)라고 부른다.
복소수의 곱셈
복소수를 극좌표 관점에서 아래와 같이 쓰면
z 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) , z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1), \quad
z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) z 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) , z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) 두 복소수의 곱은
z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sin ( θ 1 + θ 2 ) ) \begin{aligned}
z_1 z_2
&= r_1 r_2 \big(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\big)
\end{aligned} z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sin ( θ 1 + θ 2 ) ) 이 된다. 이 식은 복소수 곱셈이 그 크기는 곱하고 각도(편각)는 더하는 회전을 의미하는 연산임을 알 수 있다.
특히 단위복소수 는 크기가 1이고 각도가 θ인 복소수이므로, 임의의 복소수 z에 대해
z ′ = u z z' = uz z ′ = u z 를 계산하면 z의 크기는 그대로 유지되고 편각만 θ만큼 증가하는 연산이 된다.
즉, 복소수 z를 원점 기준으로 θ라디안 회전시킨 결과가 된다.
오일러 공식과 단위복소수
오일러 공식에 따르면
e i θ = cos θ + i sin θ e^{iθ} = \cos\theta + i\sin\theta e i θ = cos θ + i sin θ 이므로, 모든 복소수는 다음과 같은 지수형으로 쓸 수 있다.
z = r ( cos θ + i sin θ ) = r e i θ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r e^{iθ} z = r ( cos θ + i sin θ ) = r e i θ 특히 단위복소수는
∣ z ∣ = 1 ⟹ z = e i θ |z| = 1 \quad \Longrightarrow \quad z = e^{iθ} ∣ z ∣ = 1 ⟹ z = e i θ 와 같이 표현된다.
드 무아브르의 정리
복소수
z = r ( cos θ + i sin θ ) z = r(\cos\theta + i\sin\theta) z = r ( cos θ + i sin θ ) 와 정수 n에 대해
z n = ( r ( cos θ + i sin θ ) ) n = r n ( cos ( n θ ) + i sin ( n θ ) ) z^n = \big(r(\cos\theta + i\sin\theta)\big)^n
= r^n\big(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\big) z n = ( r ( cos θ + i sin θ ) ) n = r n ( cos ( n θ ) + i sin ( n θ ) ) 이 항상 성립한다.
특히 절댓값이 1인 복소수(단위복소수)의 경우 r = 1이므로
( cos θ + i sin θ ) n = cos ( n θ ) + i sin ( n θ ) (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) ( cos θ + i sin θ ) n = cos ( n θ ) + i sin ( n θ ) 이다.
이 정리는
복소수의 거듭제곱 계산
삼각함수 여러 각 공식(배각, 삼각, 다각 공식 등) 유도
z^n = 1과 같은 방정식의 해 분석
등에서 활용할 수 있다.
n차 단위근 (n-th roots of unity)
양의 정수 n에 대해, 다음 방정식
z n = 1 z^n = 1 z n = 1 을 만족하는 복소수 z를 n차 단위근이라고 한다.
n차 단위근 구하기
드무아브르의 정리와 오일러 공식을 사용하면, z^n = 1의 모든 해를 구할 수 있다.
1을 극좌표를 사용하여 아래와 같이 나타내면
1 = e 2 π i k ( k ∈ Z ) 1 = e^{2\pi i k} \quad (k \in \mathbb{Z}) 1 = e 2 πik ( k ∈ Z ) z = e i θ e^{i\theta} e i θ
( e i θ ) n = e i n θ = 1 = e 2 π i k (e^{i\theta})^n = e^{in\theta} = 1 = e^{2\pi i k} ( e i θ ) n = e in θ = 1 = e 2 πik 이므로
i n θ = 2 π i k ⇒ θ = 2 π k n in\theta = 2\pi i k \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{2\pi k}{n} \quad in θ = 2 πik ⇒ θ = n 2 πk 따라서 n차 단위근은 다음과 같은 꼴로 해가 나타난다.
z k = e 2 π i k / n = cos 2 π k n + i sin 2 π k n z_k = e^{2\pi i k / n}
= \cos\frac{2\pi k}{n} + i\sin\frac{2\pi k}{n} z k = e 2 πik / n = cos n 2 πk + i sin n 2 πk k = 0,1 … n-1에 대응하는 값들이 n차 단위근이며, 모든 단위근의 합은 0이 되는 성질을 가진다.(복소 평면에서의 대칭성을 가짐을 직관적으로 생각할 수 있음)
복소평면에서의 기하학적 의미
각 z_k의 크기는
∣ z k ∣ = ∣ e 2 π i k / n ∣ = 1 |z_k| = \left| e^{2\pi i k/n} \right| = 1 ∣ z k ∣ = e 2 πik / n = 1 이므로, 모든 n차 단위근은 단위원(반지름 1인 원) 위에 있다.
편각은
2 π k n \frac{2\pi k}{n} n 2 πk 이므로 인접한 두 단위근 z k {z_k} z k z k + 1 z_{k+1} z k + 1
2 π n \frac{2\pi}{n} n 2 π 이고, k = 0,1 … n-1에 대응하는 점들을 원 위에 찍고 이웃한 점들을 순서대로 이으면, 중심이 원점이고 반지름이 1인 원에 내접하는 정n각형의 꼭짓점들이 된다.
곱셈 구조
n차 단위근들의 집합을 z 0 {z_0} z 0 z 1 {z_1} z 1 z n − 1 z_{n-1} z n − 1
곱셈 닫힘성:
z j z k = e 2 π i j / n e 2 π i k / n = e 2 π i ( j + k ) / n = z ( j + k ) m o d n z_j z_k = e^{2\pi i j/n} e^{2\pi i k/n}
= e^{2\pi i (j+k)/n}
= z_{(j+k) \bmod n} z j z k = e 2 πij / n e 2 πik / n = e 2 πi ( j + k ) / n = z ( j + k ) mod n
항등원:
z 0 = e 0 = 1 z_0 = e^{0} = 1 z 0 = e 0 = 1
역원:
z k − 1 = e − 2 π i k / n = z n − k z_k^{-1} = e^{-2\pi i k/n} = z_{n-k} z k − 1 = e − 2 πik / n = z n − k
따라서 n차 단위근들은 곱셈에 대해 순환군(cyclic group)을 이루며, 생성원으로 자주 쓰는
ω = e 2 π i / n \omega = e^{2\pi i / n} ω = e 2 πi / n 에 대해
z k = ω k , k = 0 , 1 , … , n − 1 z_k = \omega^k, \quad k = 0,1,\dots,n-1 z k = ω k , k = 0 , 1 , … , n − 1 으로 나타낼 수 있다.
원시 n차 단위근
특히 ω {\omega} ω
ω n = 1 이고 ω m ≠ 1 ( 1 ≤ m < n ) \omega^n = 1 \quad \text{이고} \quad \omega^m \ne 1 \; (1 \le m < n) ω n = 1 이고 ω m = 1 ( 1 ≤ m < n ) 을 만족하면, ω {\omega} ω
모든 n차 단위근은 어떤 원시 n차 단위근 ω {\omega} ω ω k {\omega^k} ω k
일반적인 n차 다항식을
P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 이라 쓰고, 이 다항식의 근(중복 포함)을 ( x 1 , x 2 … x n ) ({x_1}, {x_2} \dots {x_n}) ( x 1 , x 2 … x n )
1개씩 근을 곱해 더한 것
2개씩 근을 곱해 더한 것
…
n개 전부를 곱한 것
이 각각 계수 a k {a_k} a k
x 1 + x 2 + ⋯ + x n = − a n − 1 a n x_1 + x_2 + \cdots + x_n
= -\frac{a_{n-1}}{a_n} x 1 + x 2 + ⋯ + x n = − a n a n − 1 ∑ 1 ≤ i < j ≤ n x i x j = a n − 2 a n \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j
= \frac{a_{n-2}}{a_n} 1 ≤ i < j ≤ n ∑ x i x j = a n a n − 2 ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n x i 1 x i 2 ⋯ x i k = ( − 1 ) k a n − k a n \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} x_{i_1} x_{i_2} \cdots x_{i_k}
= (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n} 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n ∑ x i 1 x i 2 ⋯ x i k = ( − 1 ) k a n a n − k x 1 x 2 ⋯ x n = ( − 1 ) n a 0 a n x_1 x_2 \cdots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} x 1 x 2 ⋯ x n = ( − 1 ) n a n a 0 비에트 정리는 0강에서 언급한 거듭제곱근으로 풀 수 있는 다항식 측면에서 중요하게 사용된다.
비에트 정리를 통해 5차 이상의 방정식은 거듭제곱근으로 풀 수 없지만(해를 계수의 사칙연산을 통해 나타낼 수 없지만),
근의 사칙연산을 총해 모든 계수를 표현할 수는 있다는 것을 알 수 있다.
비에트 정리는 다음과 같은 상황에서 사용된다.
근을 직접 구하지 않고 근의 합, 곱, 조합을 빠르게 계산할 때
올림피아드/경시 문제에서 방정식의 근들에 대한 식을 간단히 다룰 때
다항식의 계수를 근의 정보로부터 복원할 때
치환(permutation)
집합
X = { 1 , 2 , … , n } X = \{1,2,\dots,n\} X = { 1 , 2 , … , n } 위의 치환(permutation)은, X에서 X로 가는 일대일 대응이다. 모든 치환의 집합을 S n S_n S n
케일리 치환표기
다음과 같은 형식으로 치환을 나타내는 것을 케일리 치환표기라고 한다.
σ = ( 1 2 ⋯ n σ ( 1 ) σ ( 2 ) ⋯ σ ( n ) ) \sigma =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)
\end{pmatrix} σ = ( 1 σ ( 1 ) 2 σ ( 2 ) ⋯ ⋯ n σ ( n ) ) 예를 들어,
σ = ( 1 2 3 4 2 4 1 3 ) \sigma =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 1 & 3
\end{pmatrix} σ = ( 1 2 2 4 3 1 4 3 ) 는
1 ↦ 2 , 2 ↦ 4 , 3 ↦ 1 , 4 ↦ 3 1 \mapsto 2,\; 2 \mapsto 4,\; 3 \mapsto 1,\; 4 \mapsto 3 1 ↦ 2 , 2 ↦ 4 , 3 ↦ 1 , 4 ↦ 3
궤도(orbit)
집합 X에 특정한 치환 σ \sigma σ
집합 X의 원소 x가 n번의 치환을 거쳐 자기 자신으로 돌아오기까지 거친 모든 원소의 집합을 o r b σ ( x ) {orb_\sigma(x)} or b σ ( x ) σ \sigma σ
