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버튜버 연떠 님의 현대 대수학 강의

행렬식의 치환 표현

$n \times n$ 행렬 $A = (a_{ij})$ 의 행렬식 $\det(A)$ 는 치환을 이용해 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma)\, a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} \cdots a_{n,\sigma(n)}.$$

• 각 항 $a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n,\sigma(n)}$ 는 각 행과 각 열에서 정확히 하나씩 원소를 골라 곱한 것.

이 정의로부터 행을 서로 바꾸면 전치(홀치환)가 추가되므로 행렬식의 부호가 바뀌고, 두 행이 같으면 대응하는 치환합이 상쇄되어 행렬식이 0 이 되는 등, 선형대수에서 잘 알려진 성질들이 자연스럽게 발생한다.

여인수와 여인수 전개(Cofactor expansion, Laplace expansion)

$n \times n$ 행렬 $A$ 에서 $(i,j)$ 원소 $a_{ij}$ 의 소행렬식 $M_{ij}$ 는 $A$ 에서 $i$번째 행과 $j$번째 열을 제거해 얻은 $(n-1)\times(n-1)$ 행렬의 행렬식이다.

$$M_{ij} = \det(A_{(i,j)}),$$

여기서 $A_{(i,j)}$ 는 $i$행, $j$열을 삭제한 부분행렬이다. 이때 여인수(cofactor) $C_{ij}$ 는

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$

로 정의한다.

행렬식은 한 행(또는 한 열)에 대해 여인수를 이용해 전개할 수 있다. $i$번째 행에 대한 여인수 전개는 다음과 같다.

$$\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij}.$$

마찬가지로, $j$번째 열에 대해

$$\det(A) = \sum_{i=1}^n a_{ij} C_{ij}$$

로 전개할 수 있다.

이때 $(-1)^{i+j}$ 라는 부호 패턴은, 치환 표현에서 해당 원소를 고정하고 나머지 인덱스를 치환하는 과정에서 나오는 부호와 일관되게 맞춰져 있다.

수반행렬(adjoint)과 역행렬

행렬 $A$ 의 수반행렬(또는 딸림행렬) $\operatorname{adj}(A)$ 는 여인수들을 전치해서 만든 행렬이다.

• 먼저 여인수 행렬 $C = (C_{ij})$ 를 만든다.
• 그런 다음 $$\operatorname{adj}(A) = C^T$$ 로 정의한다.

행렬 A와 수반행렬의 곱에서 대각성분은 여인수 전개를 통해 모두 행렬식 det(A)가 되는 것을 알 수 있고, 그 외의 성분은 상쇄되어 0이 됨을 알 수 있다. 이로부터 다음과 같은 관계를 이끌어 낼 수 있다. (매우 중요)

$$A \cdot \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A) \cdot A = \det(A)\, I_n.$$

이로부터 $\det(A) \ne 0$ 인 경우 $A$ 는 가역이고, 역행렬은

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\, \operatorname{adj}(A)$$

로 주어진다.

• 행렬식은 치환들의 부호(짝치환/홀치환)에 의해 정의된다.
• 여인수는 특정 행·열을 고정한 상태에서 나머지 부분행렬의 행렬식(치환합)을 부호와 함께 모아 둔 것이다.
• 흔히 선형대수에서 사용하는 수반행렬 및 역행렬 공식은 이 구조를 행렬 형태로 정리한 결과라고 볼 수 있다.

반데르몽드 행렬과 행렬식

$n$개의 수 $x_1,\dots,x_n$ 에 대해 반데르몽드 행렬(Vandermonde matrix) 는

$$V(x_1,\dots,x_n) = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}$$

로 정의한다.

이 행렬의 행렬식(반데르몽드 행렬식)은 방정식을 구성하는 근의 차이의 곱인

$$\det V(x_1,\dots,x_n) = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$$

로 주어진다.

• 모든 $x_i$가 서로 다르면 $(x_j - x_i) \ne 0$ 이므로 $\det V \ne 0$ 이고, 따라서 $V$ 는 가역이다. 당연하게 중근이 존재하면 $\det V = 0$ 이다.
• 이는 근들의 서로 다른 정도를 측정하는 양으로, 다항식의 판별식(discriminant)과 밀접하게 연결된다.

반데르몽드 행렬식 제곱값의 의미

아래와 같이 표현되는 반데르몽드 행렬식의 제곱값은 중요한 의미를 가지는 대칭다항식이 된다.

$$\Delta(x_1,\dots,x_n)^2 = \left(\prod_{i<j}(x_j - x_i)\right)^2 = \prod_{i<j}(x_j - x_i)^2$$

반데르몽드 행렬식 자체는 $\Delta(x_1,\dots,x_n)$ 은 변수들에 대해 반대칭이다.

• 두 변수 $x_i, x_j$ 를 서로 바꾸면 각 차이 $(x_j - x_i)$ 의 부호가 하나 바뀌므로, 전체 곱의 부호가 $-1$ 이 된다.
• 따라서 $\Delta$ 는 치환의 부호 $\operatorname{sgn}(\sigma)$ 만큼 바뀌는 교대적(antisymmetric) 다항식이다.

하지만 $\Delta^2$ 는

$$\Delta^2 = \prod_{i<j}(x_j - x_i)^2$$

변수들을 어떻게 치환하던지 각 차이의 제곱은 그대로이다.

• 두 변수 $x_i, x_j$ 를 바꿔도 $(x_j - x_i)^2 = (x_i - x_j)^2$ 이므로 부호가 사라진다.
• 따라서 $\Delta^2$ 는 대칭다항식이다.

이 때문에 대칭다항식과 비에트 정리에 의해 $\Delta^2$ 는 기본대칭다항식 $e_1,\dots,e_n$ 에 대한 조합으로 표현할 수 있다. 이로부터 다음과 같은 인사이트를 얻을 수 있다.

• $\Delta^2$ 는 $\alpha_i$ 들에 대한 대칭다항식이므로, 기본대칭다항식 $e_k$ (즉, 계수들의 다항식)으로 표현된다.
• 따라서 판별식 $D(f)$ 는 $a_0,\dots,a_n$ 의 다항식으로 정리된다 (일반적인 판별식 공식들이 도출됨).
• 이러한 성질로부터 판별식처럼 계수만으로 표현되는 불변량을 만들 때 자연스럽게 $\Delta^2$ 가 등장한다.

2차 방정식을 거듭제곱근으로 풀 수 있는 이유

반데르몽드 행렬식을 통해 2차 방정식을 거듭제곱근으로 풀 수 있는 이유를 살펴보자.

2차 방정식

$$ax^2 + bx + c = 0$$

의 근을 $\alpha,\beta$ 라고 하면, 계수와의 관계는

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}$$

이고, 판별식은 다음과 같다.

$$D = b^2 - 4ac$$

반데르몽드 판별식의 제곱값으로부터

$$D = a^2\Delta^2 = a^2(\alpha - \beta)^2$$

이므로

$$\alpha - \beta = \pm \frac{\sqrt{D}}{a}$$

가 된다.

• 합 $\alpha + \beta$ 와 곱 $\alpha\beta$ 는 근들의 대칭다항식이므로, 계수 $a,b,c$ 만으로 바로 표현된다.
• 나머지 비대칭 정보인 $\alpha - \beta$ 는 판별식의 제곱근 $\sqrt{D}$ 로 회복된다.
• 이렇게 해서 두 근은 $$\alpha = \frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2}, \quad \beta = \frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2}$$ 로 써서, 결국 $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 라는 거듭제곱근(제곱근)을 포함한 공식이 나온다.

2차 다항식에 대해 근들의 대칭다항식(합, 곱)은 이미 계수에 포함되어 있어서 새로운 연산이 필요 없다. 남은 정보는 $(\alpha - \beta)$ 하나이고, 이는 $(\alpha - \beta)^2$ 가 판별식과 비례하므로 제곱근 하나만 추가하면 된다.

행렬식과 역행렬 개념 자체는 고등학생때 부터 많이 사용해서 무난하게 들었는데 치환을 통해 행렬식을 정의하는 내용을 처음 들어서 흥미로웠다.