Play

버튜버 연떠 님의 현대 대수학 강의

대수적 수와 초월적 수

대수적 수

복소수 계수의 방정식에 대한 논의로부터 그 개념이 발생한다.

복소수 $\alpha$ 가 있을 때, 계수가 유리수인 어떤 0이 아닌 다항식

$$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \quad (a_i \in \mathbb{Q},\ a_n \neq 0)$$

을 만족하여 $f(\alpha)=0$ 이 되는 경우, $\alpha$ 를 대수적 수(algebraic number) 라고 한다. 즉, 유리수 계수 다항식의 근이 되는 복소수이다.

초월수

복소수 $\beta \in \mathbb{C}$ 가 어떤 유리수 계수 다항식의 근도 아니면, 즉

$$\forall f(x) \in \mathbb{Q}[x] \text{에 대하여}\ f(\beta)\neq 0$$

이면 $\beta$ 를 초월적 수(transcendental number) 라고 한다.

e.g.

• $\sqrt{2}$ 는 $x^2 - 2 = 0$ 의 근이므로 대수적 수이다.
• 모든 유리수 $q \in \mathbb{Q}$ 는 일차식 $x - q = 0$ 의 근이므로 대수적 수이다.

기약의 의미, 기약다항식

$\mathbb{Q}$ 위에서 기약이다?

다항식 $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ 가 $\mathbb{Q}[x]$ 안에서는 인수분해되지 않는다는 의미이다. (유리수 범위에서 인수분해되지 않음) 일반적으로 정의한 범위를 안에서 인수분해되지 않는 경우 기약이 아니다. irr(irreducible)을 사용해 표현할 수 있다.

e.g.

유리수계수 방정식의 근 z가 $\mathbb{Q}$ 위에서 기약이다. 를 다음과 같이 적을 수 있다.

$$irr(f(x), \mathbb{Q})$$

$x^2 - 2$ 는 $\mathbb{Q}[x]$ 에서 기약이지만, $\mathbb{R}[x]$ 에서는 $x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$ 로 인수분해되므로 기약이 아니다.

$f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ 가 0이 아니고 $\deg f \ge 1$ 일 때, $f(x) = g(x)h(x) \quad (g,h \in \mathbb{Q}[x])$ 로 쓸 수 있으면 $f$ 를 가인수분해 가능(가약)이라고 하고, 그럴 수 없으면 기약다항식(irreducible polynomial) 이라고 한다. 즉, 상수배를 무시하면 더 낮은 차수의 다항식으로 인수분해할 수 없는 다항식이 기약다항식이다.

대수적 수 $\alpha$ 에 대해, $\mathbb{Q}[x]$ 안에서 $\alpha$ 를 근으로 가지는 0이 아닌 다항식들 중 $\deg f$가 최소인 $f(x)$ 을 잡으면, 이 $f(x)$ 는 항상 $\mathbb{Q}[x]$ 에서 기약이다. 이를 $\alpha$ 의 최소다항식(minimal polynomial) 이라고 부른다. 이 최소다항식의 차수가 곧 $\alpha$ 가 $\mathbb{Q}$ 위에서 가지는 대수적 차수가 된다.

아이젠슈타인 판정법

아래와 같은 다항식에 대해

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \in \mathbb{Z},\ n \ge 1$$

어떤 소수 $p$ 가 존재하여 다음 세 조건을 모두 만족시키면, $P(x)$ 는 $\mathbb{Q}$ 에서 기약이다.

• $p \mid a_i$ for $0 \le i \le n-1$ (상수항부터 $x^{n-1}$ 까지의 모든 계수가 $p$ 로 나누어진다).
• $p \nmid a_n$ (최고차항의 계수는 $p$ 로 나누어지지 않는다).
• $p^2 \nmid a_0$ (상수항은 $p$ 로 나누이지만 $p^2$ 로는 나누어지지 않는다).

이때 $P(x)$ 는 $\mathbb{Z}$ 에서도 기약이며, 따라서 $\mathbb{Q}[x]$ 에서도 기약이다.

e.g.

$2x^3 - 12x^2 + 18x + 6 = 0$ 는 기약다항식인가?

소수 $p = 3$ 를 택하면,

• 최고차항 계수 $a_4 = 1$ 은 $3$ 으로 나누어지지 않는다.
• $a_3, a_2, a_1$ 은 모두 $3$ 으로 나누어진다.
• 상수항 $a_0 = 6$ 는 $3$ 으로 나누어지지만 $9$ 로는 나누어지지 않는다.
  따라서 아이젠슈타인 판정법의 조건을 모두 만족하므로, $2x^3 - 12x^2 + 18x + 6 = 0$ 는 $\mathbb{Q}$ 에서 기약이다.
  -> 해당 다항식의 근들은 모두 대수적 수이다.

$x^n - p = 0$ 는 기약다항식인가?
정수 $n \ge 2$, 소수 $p$ 에 대해

• 최고차항 계수 $1$ 은 $p$ 로 나누어지지 않는다.
• 나머지 계수(상수항 포함)는 $0$ 또는 $-p$ 이고, 이는 $p$ 로 나누어진다.
• 상수항 $-p$ 는 $p$ 로 나누어지지만 $p^2$ 로는 나누어지지 않는다.
  따라서 아이젠슈타인 판정법에 의해 $x^n - p = 0$ 는 $\mathbb{Q}$ 에서 기약다항식이다.
  -> $\sqrt[n]{p}$ 는 대수적 수이며, 그 최소다항식은 $x^n - p$ 임을 알 수 있다.

기약성의 보존

다항식 $f(x)$ 를 어떤 방식으로 변형했을 때,

• $f$ 가 기약이면 변형된 다항식도 기약이고,
• $f$ 가 가약이면 변형된 다항식도 가약이 되는 변형을 기약성을 변화시키지 않는 변형이라고 부를 수 있다.
• 기약성의 보존 -> 변형을 해도 인수분해가 되냐/안 되냐의 성질은 그대로 유지한다.

아래의 변형들은 동일한 범위에서(유리수, 정수 …) 다항식의 기약성을 보존하는 변형들의 예시이다. 이러한 변형을 사용하여 보다 편리하게 기약성을 판단하도록 식을 변경할 수 있다.

상수배

0이 아닌 상수 u에 대해 $g(x) = u\cdot f(x)$ 로 정의하면 $f$ 와 $g$ 는 기약성이 같다.

• $f(x) = a(x)b(x)$ 로 인수분해되면 $g(x) = u f(x) = (ua(x))b(x)$ 처럼 여전히 비상수 인수들로 분해된다.
• 반대로 $g$ 가 가약이면 $f = u^{-1}g$ 도 가약이다.
• 이로 인해 기약인지 판정할 때는 최고차항 계수를 1로 만든 모닉(monic) 다항식을 본다.

변수의 선형변환

$a \neq 0$ 인 상수, $b$ 는 임의의 상수일 때 $g(x) = f(ax + b)$로 두면, $f$ 가 기약 $\Longleftrightarrow$ $g$ 도 기약이다.

• 치환 $x \mapsto ax + b$ 는 $\;F[x] \to F[x]$ 의 가역(linear) 변환이기 때문에, 인수분해가 있으면 그대로 이동하며, 새 인수가 생기거나 없어지지 않는다.
• 즉, $f(x) = p(x)q(x)$ 이면 $g(x) = f(ax+b) = p(ax+b)\,q(ax+b)$이 되고, 반대로 $g$ 가 인수분해되면 $x \mapsto (x-b)/a$ 를 다시 넣어 $f$ 도 인수분해된다.

변수의 부호 변경

• $g(x) = f(-x)$ 도 선형변환의 특수한 경우이다($a=-1,\ b=0$).
• 따라서 $f(x)$ 가 기약이면 $f(-x)$ 도 기약이고, $f(-x)$ 가 가약이면 $f(x)$ 도 가약이다.

변수의 역수 치환(상반다항식)

• $f$ 가 상반다항식이면 $f(x)$ 와 $x^{\deg f} f(1/x)$ 는 사실상 같은 다항식이므로, 기약성도 그대로이다.
• 역수 치환하여 아이젠슈타인 판정법을 사용하는 패턴을 쓸 수 있다.