컴퓨터 그래픽스에서의 Transformation에 대한 내용을 개인적으로 정리하고 복습하기 위한 내용입니다.

Transformation

근본적으로 벡터를 다른 벡터로 변환하는 연산을 의미한다. 컴퓨터 그래픽스에서는 벡터의 변환을 통해서 물체의 변형과 이동을 계산하거나, 오브젝트를 좌표계를 다른 좌표계로 해석하는 것을 통해 사용자의 화면에 World를 투영하거나, 모델의 Skeleton-Bone구조를 구축하는 등 다양한 용도로 활용되기 때문에 그 의미를 이해하는 것이 중요하다.

행렬 $A$와 벡터 $\mathbf{x}$에 대해

$$\mathbf{y} = A\mathbf{x}$$

와 같이 표현하면, 벡터 x를 변환(Transformation) T에 넣어 y를 얻는다란 의미다.

$$T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$$

이때 T는 벡터의 변환을 수행하는 함수이며, 행렬 A는 T라는 변환의 동작을 좌표계 기준에서 표현한 것으로 볼 수 있다. 즉, (T: V -> V)를 기저 벡터의 형태로 본 것이 행렬이다.

표준 기저의 2차원 좌표계에서 벡터를 상수배하는 변환을 기준으로 보면, 우선 표준 기저는 아래와 같다.

$$\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$$

여기서 (x) 방향으로는 2배, (y) 방향으로는 3배 스케일하는 선형 변환 (T)를 정의해보면. 함수적인 표현으로는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$T(x, y) = (2x, 3y)$$

이걸 표준 기저에 대해 행렬로 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$$ $$T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x \\ 3y \end{bmatrix}$$

벡터의 상수배를 적용하는 연산이 기저벡터에서 어떤 형태의 행렬로 나타나는지 알 수 있다.

Linear Transformation

여러 변형 중 $T: V \rightarrow W$가 벡터 공간 $V$에서 $W$로 가는 함수일 때, 다음 두 조건을 항상 만족하는 $T$를 특별히 선형 변환(linear transformation)이라 부른다.

1. Additivity(덧셈 보존) $$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$$
2. Homogeneity(스칼라 곱 보존) $$T(a\mathbf{v}) = aT(\mathbf{v})$$

선형 변환의 특징과 기하적 해석

• 기저를 고정하면 $T \leftrightarrow A$는 일대일 대응이다.
• Homogeneity에 의해서 원점을 유지한다. $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
• 선형 구조를 보존한다.(선형변환의 조건을 연산 후에도 만족한다.)
• 위의 특징으로 인해 선형 변환끼리는 자유롭게 결합하여도 기저나 차원을 유지하는 특징이 있기에 유용하게 사용된다.

선형 변환의 예시

• Scale $$\begin{bmatrix} s_x & 0 \\\\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x x \\\\ s_y y \end{bmatrix}$$
• Rotation $$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix}$$
• Shear $$\begin{bmatrix} 1 & k \\\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + k y \\\\ y \end{bmatrix}$$

선형 변환은 기저의 변환이다

이 방식의 해석이 컴퓨터 그래픽스에서 다양한 내용들을 이해하고 구현할 때 직관적 이해를 도울 수 있다.

벡터 공간 $V$에서 기저 $B = \{ \mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n \}$를 고정하면, 임의의 벡터 $\mathbf{x} \in V$는

$$\mathbf{x} = a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n$$

처럼 기저의 선형 결합으로 유일하게 표현된다.

선형 변환 $T: V \to V'$가 주어지면, 그 변환의 동작은 선형 변환의 특성에 의해

$$T(\mathbf{x}) = T\left( \sum_{j=1}^n a_j \mathbf{v}_j \right ) = \sum_{j=1}^n a_j\,T(\mathbf{v}_j)$$

와 같이 표현되며, 기저 벡터 각각에 대한 $T(\mathbf{v}_j)$를 알면 임의의 벡터에 대한 $T$의 동작을 모두 알 수 있다. 즉, $T$가 모든 $\mathbf{x}$에 대해 어떻게 작동하는가는, 기저 벡터들이 $T$에 의해 어떻게 변환되는지에 대한 정보로 완전히 결정된다.

$T(\mathbf{v}_j)$를 기저 $B$로 나타내면,

$$T(\mathbf{v}_j) = a_{1j} \mathbf{v}_1 + \cdots + a_{nj} \mathbf{v}_n$$

으로 나타낼 수 있고, 이 계수 $(a_{1j}, ..., a_{nj})$를 j번째 열벡터로 삼아 n개의 벡터를 차례로 세우면 행렬 $A$를 정의할 수 있다.

$$A = \begin{bmatrix} | & & | \\ [T(\mathbf{v}_1)]_B & \cdots & [T(\mathbf{v}_n)]_B \\ | & & | \end{bmatrix}$$

이러한 관점에서 보면 행렬은 표준기저 관점에서 보았을 때, 각각의 열벡터가 새로운 기저가 됨을 알 수 있다. 즉 선형 변환은 기저의 변환으로 해석할 수 있다.

Affine Transform

아핀 변환은 주로 물체의 이동(Translation)을 표현하기 위해 사용된다. 선형 변환은 그 특성으로 인해 결합하여도 성질을 유지하여 계산에 있어 이점을 얻는다. 하지만 이동 변환은 아쉽게도 선형 변환이 아니다. 따라서 다른 선형 변환들과 결합할 수 없다.(순서에 따라 결과가 변경된다.)

Affine transform(아핀 변환)은 이러한 문제를 해결하기 위해 선형 변환과 이동(translation) 을 합친 형태의 변환으로 생각할 수 있으며, 아래와 같이 표현된다.

$$\mathbf{y} = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$$

• $A$: 선형 변환을 나타내는 행렬 (회전, 스케일, 전단 등)
• $\mathbf{b}$: 이동(translation)을 나타내는 벡터 (bias)

기하학적으로 보면 아핀 변환은 점을 점으로, 직선을 직선으로, 평면을 평면으로 보낸다. 즉, 평행성(parallelism)은 보존하지만, 길이나 각도는 일반적으로 보존하지 않을 수 있다.

일반적으로 컴퓨터 그래픽스에서는 행렬 기반 변환으로 다양한 로직을 처리한다. 이때 실질적으로 선형 변환만이 아니라 이동이 포함된 변환이 필요하다.

ex.

• 모델 변환 (Model transform)
  로컬(모델) 좌표 → 월드 좌표
  $\mathbf{x}_\text{world} = A_\text{model}\,\mathbf{x}_\text{local} + \mathbf{b}_\text{model}$
• 뷰 변환 (View transform)
  월드 좌표 → 카메라(뷰) 좌표
  $\mathbf{x}_\text{view} = A_\text{view}\,\mathbf{x}_\text{world} + \mathbf{b}_\text{view}$

여기서 $A$ 부분은 회전·스케일·전단 같은 선형 구조를 담당하고, $\mathbf{b}$는 카메라나 물체의 위치를 표현하는 이동 항(bias) 역할을 한다.

이러한 경우 Affine transform을 쓰면

1. 물체의 방향/크기와 위치를 하나의 수식으로 표현할 수 있고
2. 서로 다른 변환들을 행렬 하나로 합성할 수 있다는 장점이 있다.

Homogeneous Coordinates와 Bias의 결합

Affine 변환을 행렬 하나로 다루기 위해, 동차 좌표(homogeneous coordinates)의 개념을 사용한다. 동차 좌표는 주어진 벡터 공간에서 1차원을 올려 선형 변환이 아니었던 연산을 선형 변환으로 다룰 수 있도록 하는 좌표 표현이다.

동차 좌표를 활용하여 3차원에서의 점 $\mathbf{x} = (x, y, z)$를 다음과 같이 4차원 벡터로 확장한다.

$$\tilde{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$$

이때 추가로 붙은 차원을 임시차원이라고 하며, 그 값은 일반적으로 0또는 1이다. 0인 경우 방향 벡터로 해석하고, 0이 아닌 경우 3차원 점으로 해석한다.

확장된 4차원 벡터로 Affine 변환

$$\mathbf{y} = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$$

을 다음과 같은 $4 \times 4$ 행렬 하나로 표현한다:

$$T = \begin{bmatrix} A & \mathbf{b} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \tilde{\mathbf{y}} = T \tilde{\mathbf{x}}$$

그렇게 하면 아래과 같이 표현할 수 있다.

$$\begin{bmatrix} \mathbf{y} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \mathbf{b} \\ \mathbf{0}^\top & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ 1 \end{bmatrix}$$

이러한 형태를 만들면 다음과 같은 특징이 생긴다.

• 선형 변환 $A$와 bias 벡터 $\mathbf{b}$를 하나의 행렬 $T$로 합칠 수 있다.
• 여러 Affine 변환을 합성할 때, $T_\text{total} = T_3 \, T_2 \, T_1$ 처럼 단순 행렬 곱셈으로 연결 가능하다.
• 예를 들어 MVP행렬을 구성할 때 월드 · 뷰 · 프로젝션 행렬을 전부 곱한 뒤, 정점에 한 번만 곱해 주면 되는 구조가 된다.

그래픽스 관점에서 보면, bias(이동 항)는

• 수학적으로는 Affine 변환의 비선형 부분이지만
• 구현에서는 동차 좌표로 승격시켜 다른 선형 변환과 똑같이 행렬 곱셈으로 처리되는 항이 된다.
• 이것이 그래픽스에서 3차원 공간에서 연산을 시행함에도 4x4행렬로 나타내는 이유이다.